Хотелось бы кривую стену между кухней и комнатой сломать, а вместо нее установить перегородку из гипсокартона. Возможно ли затем наклеить плитку на гипсокартон?

Желательно перегородку сделать из двух листов гипсокартона, затем ее обработать грунтовкой. Плитку перед работой замачивать в воде, а после этого наносить плиточный клей и наклеивайте Вашу плитку спокойно.

Можно, и она успешно держится. Даже нет необходимости делать перегородку из двух листов, как о том говорит elenka66. Но вот прогрунтовать обязательно.

Но я так же могу дополнить. Плитку нельзя будет клеить на обычный цементный раствор. Можно будет только на специальный клей садить плитку.

Смело кладите вашу плитку без всякой грунтовки и замачивания на специальный клей, на один слой гипсокартона. Единственное условие, если площадь плитки будет более 2,5 кв.м, то стой ставятся не через 60, а через 40см. Удачи!
http://bog-dom-7ya.blogspot.com/

А если гипсокартон не "намертво" прикреплён к стене? Если можно нажать и стане как бы двигается, можно ли в таком случае плитку на него класть? Или стена должна прочной быть?

Ну как правило гипсокартон и не крепится к стене, он крепится к каркасу или раме, и правильное крепление не позволяет ему "гулять", а поддерживает его в статическом положении.

Если одна сторона - это стена кухни, есть ли смысл взяь влагостойкой гипсокартон? Влага, пар, перепады температуры...С ним также работать в отношении плитки?

Влагостойкий картон обычно покупают для обшивки потолка в ванной. На кухне можно и обычный крепить (стеновой). А вот плитка укладывается так же, как и на обычный картон.

Вообще-то перегородку желательно делать с помощью профилей, а на них крепить гипсокартон, профиль закрепляется в потолок и пол, тогда перегородка у вас гулять не будет.